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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 WFi8VmqE  
)[+X0 LTK  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ,Z+`Wm  
@LlW hY-  
　　1、三角函数本质： Z lC5u/  
ts{1Cg{  
　　三角函数的本质来源于定义 mJmlM[c  
(*yH,q9'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 6Zk8 wv5"  
FtFpn  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 IURDbiE&  
-4 X!kh z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 2hg+@4+H  
SjgF&3^&  
　　推导： Abcst l  
(KL E6&/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 1r/o&D[.Y-  
@sFtO/AHI  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %7di4q2t  
PsCBIhR;j  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) FW?c*c4  
;l.V@67tO|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 sRO->aH)  
;RT%7>jc   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Bj+MR943&  
z'hY&}m }D  
　　[1] a#'fRSZ  
.1OK!7|-r  
　　两角和公式 | |EG>$  
Cgkd ;sh)  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB xN9yhp  
$\VOb,G  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $=#?a/8Z  
G& *-#;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gncUD9=  
R2 j!r'  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB r 5BV7yF%  
T1Ah=4  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]]-Av.QN  
+f;y'7@DC  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5vRh k"M  
)N<q*_dXo  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *. J:m'&  
u'(1kc*  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) pPf- 3q6  
<N8 uqx  
倍角公式 PiN5@6  
U? 6Fx8&  
　　Sin2A=2SinA•CosA 's`K=$pqu_  
=Z4%W  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 v^.pF}S  
f,SvK k%  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  PK;]Jfc  
d88=S\Zp:k  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） w,:'k ,(R  
 Q)|Pw  
三倍角公式 3n#GRd-%c  
>.sb1'9}g  
　　 %l/'kXcfZ  
%6aU(nF  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) x bbQ!T  
M_1=F3U   
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) (4)$Tq  
9jZ$ccVQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x<."~ 3  
PQ7vU  
三倍角公式推导 H y H y[  
IlFT5<h}!F  
　　sin3a Ytv,<%]  
 ]FGC[;  
　　=sin(2a+a) mMsv+'3  
B%k-$  
　　=sin2acosa+cos2asina {/U'J^O\O  
{b{ WM  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina RvsPbY  
fH+bCkk'  
　　=3sina-4sin³a k?%"McYS  
Lc{dVXWN  
　　cos3a "mi^/<~  
FRq&X P"  
　　=cos(2a+a) =!k|E ,:hc  
eSXq9as  
　　=cos2acosa-sin2asina e]"3:HQ  
C( XfN@  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa /5o@vZa  
 hr3jA  
　　=4cos³a-3cosa 9C"l$-.b\  
yY2,?,$SA  
　　sin3a=3sina-4sin³a e o&D i-!A  
I  txr  
　　=4sina(3/4-sin²a) y@30c>?j  
I=r"Qh3XC  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] g7 ;g=Y1  
=wB~6 C0?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) j+mx),n:  
>U$Lw  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) N[&lquB{N  
-a< "M  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }9#CzA-)  
s]&C;ad  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ehw% N  
C4Yqrvx}x  
　　cos3a=4cos³a-3cosa QsZ5{P7P  
8, M`8"J  
　　=4cosa(cos²a-3/4) fj{('-k} q  
(`j<}  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] b K<E9  
v9 _sh1*  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  _d{h]0W^  
W'Ek^D=Z  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) -`BMu-IA?  
z,zKKj  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4~_|6T9dM  
-~8Y|u7|  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qVn\z.Pd  
SB305uy@XW  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] .O~pi}.w  
Wmxxm"uI  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @^OD$  
mMowLw[D  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ~Uaz 9~7  
d5>I ME  
　　上述两式相比可得 2?7IIEMK  
aAY7I9-t`  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  &2]_Hv  
]V&)!O$v9  
半角公式 pwW&},k1  
hS(4wUTm  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); aTJ" +}  
+(hpt'+Q R  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. JH+YNh+=C  
:XJ 'OT4  
和差化积 ^!&! TbJ  
,&$ef>9@  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lv$DxGIn  
$P)%vMz  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <cg_ /BC  
O#`x{vdzV  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &/d[(  
&/Rx3b<K{Y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B> ]I1j7U  
5s*o0sOe0  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) s4tn:<~(  
-TA$#V  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) qZJVtG!C8  
Uh1\v.<`  
积化和差 5 7'CN~X=  
=!B[3#_S<  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] x$3C]u|D  
Je0d5=  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $/|@4*,h  
vN&[GS_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] J?>!YWh`7:  
fiju;\-/H  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ev@:4+`  
=oW cu1  
诱导公式 Py$?-Z  
sOd}) ^>q  
　　sin(-α) = -sinα g@m.K<X"8p  
}}kOGVcO  
　　cos(-α) = cosα <Qr,Su;  
T/\i?:^U  
　　sin(π/2-α) = cosα 1:M`aEw  
'aHk(mT@I  
　　cos(π/2-α) = sinα .@" om  
c`|mg2,\  
　　sin(π/2+α) = cosα OMEkT"H.Z  
|Me`e\!  
　　cos(π/2+α) = -sinα m )2?$kb  
R{I [E-m  
　　sin(π-α) = sinα )TW[9k5 M  
#X'DC1   
　　cos(π-α) = -cosα ~{Es;] 9wq  
n>tk*  
　　sin(π+α) = -sinα gfbhKd|gm  
V``dvd  
　　cos(π+α) = -cosα wC*@v^(g  
2MQ}^9  
　　tanA= sinA/cosA O@&&-2nnZ  
=.d5!a  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %RTrmwCol  
[^5rD1=  
　　tan（π/2－α）＝cotα <8i Xo`>  
@-);y<}>  
　　tan（π－α）＝－tanα " &Uz1  
z VS  y  
　　tan（π＋α）＝tanα #lI4ntu  
[>AT.#8\J  
万能公式 vd ) +  
l&e7   
　　 OxNm,q_$  
9VAi'c$6  
其它公式 W.9XU?r  
61"M@kZ@r  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 o|.CPU+y  
*$u3;{~q  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 EC( [Z}6W  
F,Sx@  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 45 I%A`d  
7o+<<Rw  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a!Xa$ 6!  
[xY_22j#[  
　　对于任意非直角三角形,总有 sPfS&,O(  
Gm6 yY  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,L(s=b=7  
Ev%507-h  
　　证: 7rU<m[3/  
X>:vl+ pw  
　　A+B=π-C =gc_)g =  
fn_:K*+  
　　tan(A+B)=tan(π-C) lzah9w^U51  
&k%4o8   
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) < DDjduJ  
Fn=6D=Xi  
　　整理可得 ,j@j._0 e  
_.K@-9A  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC X+F<;Y  
Yb<ra?he  
　　得证 vb/*0@^+ G  
[TC_M+u&Y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 8^A89jQ|&  
P;[ReHe&  
其他非重点三角函数 .=?qAn(*  
F/lS O-yG  
　　csc(a) = 1/sin(a) 'j )DT!1L  
_P0"s&J  
　　sec(a) = 1/cos(a) vcYMX,j8K  
u}}hvy p  
　　 "BmO)Yo  
E9d%0Vke  
双曲函数 &})\\  
Y/F8 48  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5 lVRK.0<  
WuV~vt7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .]& ]fs\!  
0imA=z  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) }mX]uHn  
$xo|JK ,@  
　　公式一： OdK s_s6l  
jT^<I+ !K  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： SuwZct2Tn  
M4_eE(_  
　　sin（2kπ＋α）= sinα (mClE[+  
zpg'r'2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ;_DkG.u  
f5<x_@giM  
　　tan（kπ＋α）= tanα W'"W OcZ]  
R=G=0 Q  
　　cot（kπ＋α）= cotα z,1A=],ox  
Z)tR]sT&'  
　　公式二： liYCMT  
jSpjlgt  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： rQ%<&bn  
T%y\\ Q8T  
　　sin（π＋α）= -sinα x4cRO1Mnp  
%eY} &2  
　　cos（π＋α）= -cosα O 9]EWD  
~x*{jQ$00  
　　tan（π＋α）= tanα X2a  
pX;MI\c Gs  
　　cot（π＋α）= cotα >CXRV[r[  
1b@e1|x  
　　公式三： 5kl&rN  
,N@lq^)E[@  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8TJyS_)  
paCYuo  
　　sin（-α）= -sinα Vs7-Y@\S<  
7kamgXvL  
　　cos（-α）= cosα @J&=ZE7d[K  
zh&x  
　　tan（-α）= -tanα F;<E.WU  
CS^8_%[<  
　　cot（-α）= -cotα LLv f<xX"  
+KO(j<GK  
　　公式四： x I2D;v  
s 3tmLO{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &C\{e)"<I}  
E;A,xHo/]p  
　　sin（π-α）= sinα 2xx)mSt\  
D&~w$@2  
　　cos（π-α）= -cosα q5!AH`Xdz  
WOs[hzU  
　　tan（π-α）= -tanα ]^FZ{9srQ[  
"eK>my 6]  
　　cot（π-α）= -cotα zG|;/,}w[F  
+[oFarbS=  
　　公式五： z<y[|m"H  
VF8_m]q  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： K.+r=BuCA  
+sZ*:n_x  
　　sin（2π-α）= -sinα vFgh lrp  
G, K'm  
　　cos（2π-α）= cosα "jK%\A0Z"  
%LDD8H  
　　tan（2π-α）= -tanα ?-E$9<$  
'?H>X yi_e  
　　cot（2π-α）= -cotα Y)IYi(|e  
{og3ppc  
　　公式六： l EE'W,W  
D lt6ZqK&  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： dV Y50  
upPPi@xYF  
　　sin（π/2+α）= cosα 8`X<y\'{h  
Oe^rBeW_K  
　　cos（π/2+α）= -sinα C{^~A8{'j  
p4f{uwS|  
　　tan（π/2+α）= -cotα 0"o6`qpn?  
"+,h4,a  
　　cot（π/2+α）= -tanα xObd/%]p;  
[m=9'#{+F  
　　sin（π/2-α）= cosα ,WW_;xvDO(  
yi{1K $  
　　cos（π/2-α）= sinα z YMN+: Q  
Gj2dHPt  
　　tan（π/2-α）= cotα +vf$FzX,  
k)r-}|  
　　cot（π/2-α）= tanα |}x9!N0  
KNL5Q ]"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ox.^sZM6  
b6>EMN  
　　cos（3π/2+α）= sinα 0!MZ~b=  
6f@gZ|1=  
　　tan（3π/2+α）= -cotα X#>>rb1  
yy G6V<e$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα :Z3FDV  
p? }x{Yh#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα f5C(/  
Ei#e7"]s  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +\$!K (8.  
iEV39tU {  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]POJJ, [  
6 ?G\LSA  
　　cot（3π/2-α）= tanα ":zFT+A  
>`9c- [\  
　　(以上k∈Z) 4TqSMdz; ~  
OVr:`<?0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 YI\;+O4l)  
r kl*Tt  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = WN1 "f^  
g$ds#|d5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 7bE)gez=YY  
H"X0JX._  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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