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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 hK2+_h$  
Af18`-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (voHz:r  
Fn2z`_f  
　　1、三角函数本质： d) [r}$:Q  
bCb ljt  
　　三角函数的本质来源于定义 (rAh<pk<H  
,#ZZ{%b  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 wd Qv'58ef  
aGjy=re  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 'X WYM  
r!2xrXA{4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： =W2.w"  
Pu<Q-Xc^  
　　推导： ZdnsLmOx(  
yKD 37A:  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 odm hU;2  
xRr{ C  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )l6Ry7'f}  
ej~)U~Ce  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  ;<]m<F  
G<DDSk p  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 FX%l\VY  
`; <S-_A_  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $r?~1n(s  
[I&-u0-t)  
　　[1] NU Q)4by  
qv6-/H=Z  
　　两角和公式 #[Jb+^rOyo  
Jn9c7P_x&?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5wX8e 3  
~ pVG/@D{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  D/%tMuA2  
>+5 x0`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <fY4z7!  
,Pr;jfiL  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Jh{'  
\u# $%d  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) JTHYv  
su M"1l}  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7_R&]w  
G+#_r.gz  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  2q @Hp  
PbZ[Y!Yu;  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) D 29 2_pb  
Wb)c-[r  
倍角公式 F9d fPY=  
Db&Qi#"  
　　Sin2A=2SinA•CosA <}>|e*$   
bH7r0 y[  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 L :({C  
GW0 K;-  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） j#u,4&0  
AWt?v;T@b|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） f \oY;[6  
]X>.Ff  
三倍角公式 6`<@DL<z  
+55,n!gn[  
　　 @W*DaY  
'YV]Up?U~  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Tc 0WYy?;Q  
?rE#~Rqi  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4N 2kQAO_X  
((js3( [jx  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) {M^e zBE{~  
)Ciw8 |ag  
三倍角公式推导 k1`SR8u23  
SkyA 4_E*  
　　sin3a A\sd @/V  
M%68I;\!  
　　=sin(2a+a) Bi!1b]p  
e$B;F~[a  
　　=sin2acosa+cos2asina a> ]KWU;lW  
 FLXgS8=  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina >=CW`{pu}  
,F_^6MA6  
　　=3sina-4sin³a R\;ZPA-c~  
3%\]-riG7H  
　　cos3a ct2%\;  
PHg79e=$  
　　=cos(2a+a) ?oBCOF{  
jZ?IZ(  
　　=cos2acosa-sin2asina =AUjK?F  
Fj lp$" b  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c'e*daL&  
|hUR:A9  
　　=4cos³a-3cosa 7{"Xtyrk  
ho$=XD;  
　　sin3a=3sina-4sin³a .iaqoFzE 9  
%Lx]rW9  
　　=4sina(3/4-sin²a) /0s|9`  
W;4>h0{I~  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J1&aC]#  
-hFh9R  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) q?|I&3X  
A,->(v"  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) p:-eK'V  
NVWn<DFn  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -~>q|I8  
j$ipFb}  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) !nE&{~V  
:ZK?(  
　　cos3a=4cos³a-3cosa [#)* 1K  
3vH?LfrM  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =d1iWH  
qOq09  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] %jSH3K  
ra8U 8j  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) |PD-|FBv  
FU_},R  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) gJ7$0mZ  
 (Jwnj7  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A$$qlhF  
"mRT{2lt\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) zD<*Q+D/Z  
W):j$\D#  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 0y$nm``'w  
uTI| -  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Uw*5N"z#  
WmA ]xcs  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ku$kLt4b  
~^?JhI\ll  
　　上述两式相比可得 @ *u-:2L$  
sCh2m! V7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 0jcc%q^Ov  
39eK} (0l  
半角公式 RLe$"*32  
!Zb$ |"c(  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); %"ib <_  
D(6'6m(P  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.  %OQn  
)y * | ./  
和差化积 !l*y$Vrg  
Wh%Q.)9M  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bI^/56&0  
,%G Kz{1  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <*>3UndL  
|:b+rn{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d=1]3|<   
t5\P   
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ov3dR f%  
uciI.-Y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) I u:d Qx*  
qE70, @ 0  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Sl-G"[jA  
c{`iSgZQB  
积化和差 &&m| G?KVO  
*8=nTA<a  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] e"A4\Ff`k  
! 5;7$:?\  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] j,ss17Zya  
{ PjA\a  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] _[ 7|R_,  
*?JmHOz  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 99!A O&nI  
0 9kWy;  
诱导公式 qsI@9Q# n  
b=#@l0)f  
　　sin(-α) = -sinα hg;``{  
8v$6zCg$  
　　cos(-α) = cosα tK))Bs'u>S  
i~ !4'  
　　sin(π/2-α) = cosα Feop_aL  
?3</#  
　　cos(π/2-α) = sinα BG6Tl>x  
YmMr)  
　　sin(π/2+α) = cosα 7!*em-Z  
Z4l}#N1J  
　　cos(π/2+α) = -sinα ^Ri * bZ  
'$?V&;y  
　　sin(π-α) = sinα c(wr  
R.4&^ba<&z  
　　cos(π-α) = -cosα j)CK4w  
x~^ED*=  
　　sin(π+α) = -sinα &e S^bU  
TJ)+]{3Z  
　　cos(π+α) = -cosα .H)a@-x  
$Zz$4T7YS  
　　tanA= sinA/cosA A-i/}B  
;o)W5bXwc  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα j|`[T Sz^Q  
ATo;#19  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~b7+_IiKP  
~:a-~Zg  
　　tan（π－α）＝－tanα p7X0w8t;  
-t'eX=t  
　　tan（π＋α）＝tanα U PP;<5  
&s 8OL3v5R  
万能公式 j h4jaY  
ty],Mbh  
　　 }9WF} 7  
w%UxPX  
其它公式 0T=S9Uv^v  
sR &>6  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Ui#YRQ.Ee  
>8en6eQ`au  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 M! efD2H  
7ws. S_WF$  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (|EH12k[  
,S2:u`jtH  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 70iT]zH0  
&)Js%^q0  
　　对于任意非直角三角形,总有 NB`sx_15  
r"9D>}~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC alw,N  
]@$%u@  
　　证: uv]euRB  
&v -= ~<?  
　　A+B=π-C !lH"  
'1}^D8Ci~  
　　tan(A+B)=tan(π-C) *i7(m$jwT^  
G f \ Z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) *s g`:Ly_$  
O-efilBF  
　　整理可得 A" ;x  
zx=X%$*{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "kVnR[zM  
3_vm'  
　　得证 ?YzhG(Q}  
JxF(X"(M  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 kH;9:[\  
D[gNCHkKR#  
其他非重点三角函数 h')u;7 Oh5  
?Dn->Du  
　　csc(a) = 1/sin(a) Py3%XR  
Zloj'3  
　　sec(a) = 1/cos(a) &M]8n?#+Ow  
qo% ?8  
　　 }hT8y5((  
JirsS  
双曲函数 I{X. iQ0  
goCi1hS  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 WV7d>k  
z9\-PO Y  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ;5z~iIC ^  
T!8P8c )  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2h (`N n7  
1Ho:vKy-?  
　　公式一： w{J>vm'L)  
,HzG/p  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： j5hG M  
:&Pb2YJ3:  
　　sin（2kπ＋α）= sinα sKWXS p  
<W(#D#{D  
　　cos（2kπ＋α）= cosα k6pz:-82 ^  
/pOjK  
　　tan（kπ＋α）= tanα s.w4oy@t@  
?o)M%V{  
　　cot（kπ＋α）= cotα <E@uh9ip  
W 6mRbZB  
　　公式二： iVXo C  
_2 6ca5  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： !K)n}n:  
7 :d2  
　　sin（π＋α）= -sinα rE ({qN/  
:c&`A  
　　cos（π＋α）= -cosα 4 -E$F<  
+:REns+JL  
　　tan（π＋α）= tanα v 4.w  
-!x b~dM  
　　cot（π＋α）= cotα + z ws"  
%M';5ZV)  
　　公式三： C>i+.?`  
P9/Nq"f  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： p@>-<3_  
-w*  
　　sin（-α）= -sinα sn4  NRU  
oII-Y^5.*  
　　cos（-α）= cosα Zn7StLrj  
#O9UoAS  
　　tan（-α）= -tanα K~t7%p|j  
{|7 "  
　　cot（-α）= -cotα `*<x!  
Dr7vgmc,  
　　公式四： fS;;0/gh  
=#%1J"f,o  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4E?V6yVQa  
lpz^t3  
　　sin（π-α）= sinα 6a!?v-JF  
8~O%XdK5  
　　cos（π-α）= -cosα Nu\Z.(o2M;  
l[!@kb  
　　tan（π-α）= -tanα Bnp9/C  
^bv@(^>E@  
　　cot（π-α）= -cotα @'M''%Z  
& +vl,S.  
　　公式五： fSNh m'  
. (+6_x  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： @sAV!  
PgC V5l)f  
　　sin（2π-α）= -sinα `+O"X2 9  
PdAD 4}$  
　　cos（2π-α）= cosα (;&i. ms  
dU#" =C  
　　tan（2π-α）= -tanα Hq#7k L}O  
c(>+BUZ3B  
　　cot（2π-α）= -cotα 8-mf#i?u`  
/Mq.eA~r  
　　公式六： a}K-^}T,J  
wSOH;<W :1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： RH<&L3(H  
y5gWAju@  
　　sin（π/2+α）= cosα H6"o}n  
]n))8  
　　cos（π/2+α）= -sinα /u)[BLD  
wXwb#ZG=7  
　　tan（π/2+α）= -cotα n1ZS2R9{T  
Fyymf  
　　cot（π/2+α）= -tanα V?8py[[w  
gIxZ.GB7f@  
　　sin（π/2-α）= cosα x=kpls(  
Kc=^5_  
　　cos（π/2-α）= sinα Mr_6Xs%_  
\5AU$l  
　　tan（π/2-α）= cotα }/Vpa   
ThtcgTG  
　　cot（π/2-α）= tanα Tl\OZ:q  
M3R}`4`C  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]G[)E5  
.u\EbD9  
　　cos（3π/2+α）= sinα E JwnA  
L2"+)Q  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Fs8Z3  
g}3SS "  
　　cot（3π/2+α）= -tanα @KG;} K'  
|VECO'M8#F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα i\<Cn c  
EV=EBj  
　　cos（3π/2-α）= -sinα O$."ViF]  
9{:8vhVHp  
　　tan（3π/2-α）= cotα >5y3'+5^@K  
@YlZU`kQ  
　　cot（3π/2-α）= tanα >`O|>/vb  
In_wJw  
　　(以上k∈Z) 3P_7$  
Ny$>PKg~W  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >F#S4*R;  
?>[fn~  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &0$P^s}A  
(8 ;KM^d.Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } .^dD B3i7  
4iRh\w^^d  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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