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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 RhJQR$V  
p)xGP%KGV  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. EI{eU*PvK  
cPi1  
　　1、三角函数本质： B WX9[  
>oqn1\0:  
　　三角函数的本质来源于定义 )UZHa  
/!Kjfw  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 JFm`0Q ^  
 f')e|  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 eH$P.U`E  
;xZ|QVO  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： *TZo#T7  
6<1CyNR_K  
　　推导： H, $0_#C  
Z]hJ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 XYe&T"Q5  
*\2_)#i*  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @^EL! s+  
eVFZM%s$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I~ERmrLH~  
t.XBSm  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <U;?i6)  
T_$w:uvf  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） c][6/Ea-4  
o.=0#Y E]  
　　[1] >w^VKg  
8OCSRS  
　　两角和公式 29d?UB,9  
I}PC2`~P  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vA|:mK%gB  
XI,0#BXk  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  efup':&;  
02z5#dZm<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB )e66 3F {  
2qX^?@hI#  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB eBobzha 3  
3T~DI>  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ] io:X  
i,L\O?0  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) T=npKJ'  
wWR}h"(}  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |vX -M  
1t;M:7^(v  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _e\cF  
6>FR WzW  
倍角公式 x.ya;4/c  
FsHaRoFO  
　　Sin2A=2SinA•CosA I+l_i6*  
#NZL4k84  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }K)G 'N^kB  
$=(\+   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ,bl\jT_  
!>$XTG\/5  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） l!vqcz}S  
b0# /sk  
三倍角公式 {8<Q"}  
.CCw-3\  
　　 n0~zxm i  
zCM_hc  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  xK9e`y  
v!;JT9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3]6[}|K0  
AL:p"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) J!_aA! PB  
=L:,@\1O  
三倍角公式推导 uwPej&^d  
h4 OUynn|  
　　sin3a !l1Uosvce  
>mv@Qx1kw  
　　=sin(2a+a) _AdT6V`E)  
_WQU +<E  
　　=sin2acosa+cos2asina fR3IJK2  
^ 5g1'Xx  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina KuY6$|r6*  
E:(lh{<q [  
　　=3sina-4sin³a E&Kdwpi .  
HRKS=jF\3  
　　cos3a K+VY=!'  
XWOr q'  
　　=cos(2a+a) + bj.E|  
WZ7*2%4m  
　　=cos2acosa-sin2asina f&?@g*qn8  
K:F3j|#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa f<ct}]5J!.  
@Z_Y(HS  
　　=4cos³a-3cosa oJrS+(!2ux  
0]7$KK`HN  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]@D*O)  
}M&@{gEd  
　　=4sina(3/4-sin²a) bT P9. /  
T}mV;o}W  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] TH$M&}sA  
! ^",Pq9  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) LdCI)vW  
{?_} tn  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) h1MC 9  
4ehk!4v  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] gP8W2.<r1B  
?Mdr!h ]!  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) >H.8AX"=  
l {{-@]^M  
　　cos3a=4cos³a-3cosa KVH5]8G Tg  
wlv WMd  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  {2o]%z^^  
' k!`twQ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;hyq+Qw`  
M{Q188  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9ub  
-nUR3Q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) vUWZ  
sx3sY )ny  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} b y!3k  
Nkf\IA'`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4b; 9v =  
]LKCzIa)  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 3& R\TA  
g,\q @B  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ^ W9p */  
Eg%~M}  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) eQa K|}t  
%'TKu7&E  
　　上述两式相比可得 2Ph!7 \  
Wi+Io DB+[  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) YR?U x)m  
v|O= bH^  
半角公式 $si#)&w  
1.c{Z3Y3  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;!r.1> h  
m o{t;MK#  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. )#dh% SCQ  
 TB TA=7  
和差化积 *]], MZ  
z1Fu=`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] nu\c{{I$\  
0cC:Z#2  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cQ36K*1  
$[8%Ve_  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^%,nXJpK  
.tUma3  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X s5Q<Vo  
CzktEO_&N  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) w Fm]xfb  
)[Cnv1U  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) y:*&l+(T  
]Tq[3"   
积化和差 wVT@f.!z!n  
r:kkIx  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] b`)P Ec  
Ylf"5m-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^ k*_|fUA  
])v2P+  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ;EAUn[  
Z*@CMVTU!  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [Am?rI  
uO*VW\2A  
诱导公式 ,BlFT]R8  
! (]B[Ub4  
　　sin(-α) = -sinα KtmwK~I<M  
Dz 6'3Dlt]  
　　cos(-α) = cosα C:qXB%  
{;EUkl:  
　　sin(π/2-α) = cosα x ["N$m^  
t2\Ly  
　　cos(π/2-α) = sinα U6kclf"9Z  
n,2=P  
　　sin(π/2+α) = cosα %H*&0D1bEM  
m 'N#{  
　　cos(π/2+α) = -sinα fXR{sE&:  
?4&K* ,]  
　　sin(π-α) = sinα rvX+6O~]N  
?[U([M _L  
　　cos(π-α) = -cosα "4rEcm.=^  
J:MH05B%  
　　sin(π+α) = -sinα _*Fs4A  
X[%*z6  
　　cos(π+α) = -cosα 3hVk{dxP !  
H_%!C%;  
　　tanA= sinA/cosA $(%kN  
MB`"`c@v0  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 8fy|yA  
Sgum7Oz'Y7  
　　tan（π/2－α）＝cotα Qi\bVW@b  
|RV+d!(  
　　tan（π－α）＝－tanα 7}x5z_wy  
61yCB0  
　　tan（π＋α）＝tanα c3=@pFc+8K  
kBn,3r7^  
万能公式 =U78(fA  
*e(MF}VuL  
　　 #YBKF-R2Wl  
_D:zU  
其它公式 n$5^f!5 `  
':9/,5V&8  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 sEVINCqIr  
sFT (v  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 f|4Zxb9 %w  
YtRYcn  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  tq3U  
AqVvhPr B  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Cp:GM\FZ V  
T{j i"[[  
　　对于任意非直角三角形,总有 }%#Z^Xp_  
d22s->!&q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nN?|!C[LS  
?fwAGQ4_  
　　证: x1nf#L% &  
Z1EJ  
　　A+B=π-C A01.W   
U}'?_O*[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ) Y 2|0nh  
(*P6N4="fC  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 7E-64x%  
=@,} ]{  
　　整理可得 C jkn6%[  
b}9uAp0c  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC TUt4_go#6  
VOZuj}=  
　　得证 IN\qkZ  
EuCmbm>  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 vtSYzuVe  
9Kd5wC(7  
其他非重点三角函数 Q$})5 \  
a$un&*.9lM  
　　csc(a) = 1/sin(a) R;qb6,?  
mra/ Ly  
　　sec(a) = 1/cos(a) "SC zz[  
nG+tq0t5  
　　 Hu^ =Gd;\W  
"XY\H.~#  
双曲函数 (,(zft9'  
L.Sb85)!0  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 w 9W3K)ffP  
;tnMz'C  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 E9!Q$:+^A  
,<m :{ID  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) fiE&V"q  
NgK\%=  
　　公式一： y_ UNNF=  
ZXJpl3v  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： FNN;WbX[YQ  
v-?U.}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Z #5=}*  
Zw!+Xu<Ch  
　　cos（2kπ＋α）= cosα UIH(Omg[v  
eb txqV,  
　　tan（kπ＋α）= tanα J0'qu>q@  
=1V]|'E9D  
　　cot（kπ＋α）= cotα b/"m*Be  
+BE6"s)t+@  
　　公式二： &dA=06bLy  
y:@Q&6$w  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %}[b,lD  
H3>cUjO  
　　sin（π＋α）= -sinα *`iE:+ dY;  
rw(+=6j<A  
　　cos（π＋α）= -cosα &X}Y**r~  
GY Nn&  
　　tan（π＋α）= tanα $ZH2bW<  
?M6iYL~(d!  
　　cot（π＋α）= cotα s46BcF  
 B+5Q,  
　　公式三： -?xgk.  
@9rS!  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： g%c 2c:O  
uQ`aUE5 H  
　　sin（-α）= -sinα ]pZ#B,#8  
q)0iHN]Ki  
　　cos（-α）= cosα #dR A5  
4HRLg+mn  
　　tan（-α）= -tanα $_i=~  
s 1b}uZr  
　　cot（-α）= -cotα sD'+s_6k  
uMaz :AE=w  
　　公式四： OfGn*k?R  
W)LRq pe +  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： dK-)'!8  
^E=BQ I  
　　sin（π-α）= sinα hdpBg.$)  
Y0f$P6`rDk  
　　cos（π-α）= -cosα s-X*J"@p*  
Ul]i'luK  
　　tan（π-α）= -tanα .~QXId !  
rWvEG|/~  
　　cot（π-α）= -cotα % '@a 'm  
g7eZe=0B  
　　公式五： p bG^F.:6  
RYB "RE|2  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ).kHf],M  
Y)2mrg  
　　sin（2π-α）= -sinα 7im(:w8o  
lC29B  
　　cos（2π-α）= cosα $R;""u{  
nPgyH  
　　tan（2π-α）= -tanα oy*+m $  
M^>K^Z{  
　　cot（2π-α）= -cotα SmV L#:  
16Uii&  
　　公式六： @'|xH.=_7}  
. q5I7u  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ;?9@1r8~y  
>>7pmp|  
　　sin（π/2+α）= cosα Hx23[  
QVh;fE  
　　cos（π/2+α）= -sinα T]CBi60  
'2/*D.E  
　　tan（π/2+α）= -cotα qU0;0IK#  
d/Xr_6Bh#  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9h\pl'(+  
jwxekP  
　　sin（π/2-α）= cosα #W&g5y  
%%0E#65  
　　cos（π/2-α）= sinα cJ8F{ C  
X dc_-4  
　　tan（π/2-α）= cotα @/r=j{\i7  
t8Hr/?PXy  
　　cot（π/2-α）= tanα UzlM.H  
u?aqZF}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα GSgM8;  
b]#'sR, 8  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1J1Nvg  
U}}gQfIv(  
　　tan（3π/2+α）= -cotα _mbPY=p  
M@>$c fS,  
　　cot（3π/2+α）= -tanα F#jb_@ y  
&fbSh.W8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 3 ppIJtZ  
\:l8Y}}H  
　　cos（3π/2-α）= -sinα g6".8d=]R:  
Bp, XLc"]  
　　tan（3π/2-α）= cotα L!e iyQU#J  
.c9E9YL  
　　cot（3π/2-α）= tanα s0N{h!C  
7+  w  
　　(以上k∈Z) dOZdpJk  
;|`\S(L[  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 tPsG<a4C T  
:M6[tK  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = wsg T%  
y"15{)l1Q  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $1LH7  
(Oh[3^v!   
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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