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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 :\_5E+Q  
jahTiq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. n# >B9C?B  
Pz6_Li|G  
　　1、三角函数本质： :-N^"{j4?  
`=hHx_y(  
　　三角函数的本质来源于定义 x6 '{m:il  
w31=clhts  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ua'TJ`^  
DOGQ0D)JW  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 DJ1 $P3  
VKP}U<7AF  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： _:<UzgK{k  
n2T--Hb MQ  
　　推导： 3 P+%Ah  
T^sz]1#  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 D;L4c4!  
k.[A@<[A  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0`W: >"r@  
w Eh_R+`Hj  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  I lLi%7  
dGg_mBKY  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 /|3!Z   
--!lzB  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） f Q&W& =J  
l5 TwbT*  
　　[1] sk-W0P>= y  
Ya7KY %  
　　两角和公式 _[nBldm0|  
M:A:Sbt  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB _blHja,4  
Oj9<} zQm  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  k5>4gUm  
Bme^ FE  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB o3Souu0f  
CMDqNHZk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB o8pGR 6  
?+ P#{Cc  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) C^F]\  
KtzfVJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) G G9 c  
0 -Ya  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6J$;U ;CD  
LH3j^)Gx  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %k60`Mkb  
M,fasVF  
倍角公式 5SUL$+\o^  
mR[4[  
　　Sin2A=2SinA•CosA ezBM'.z  
pwD"Uq)_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 / ZLT9=Y-  
G(fTmxjr  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） fl:kjx*;  
>vW?GrvY  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  Gt+[57  
.`UAaX`y  
三倍角公式 a-,g<$  
puh3m#  
　　 :Vl{p/  
1VWn] ]Z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) p{- J{Ma!  
N%s/ VC1  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) y!VggkPN  
==4!(i  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 0v+!5  
c7p`|BIpQ  
三倍角公式推导 r7N8p]G  
^jx?B41  
　　sin3a xS;Ghnh5  
ssqC/F?  
　　=sin(2a+a) L DVj5-YT  
NLJ R8VR)&  
　　=sin2acosa+cos2asina U+{gKI+i  
G,}52y  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,E6#5  
GgvZ~vO  
　　=3sina-4sin³a eq 0IoR  
>p#*}=R"M  
　　cos3a X|',>x[0y  
=#1!97v,3  
　　=cos(2a+a) 3b~[n\W$  
2Pwj%~ aS  
　　=cos2acosa-sin2asina @; j"NOF)  
}Z"Hy1FB  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa rn'7/9V~{b  
baL19T7&W  
　　=4cos³a-3cosa &uO 2$Z\  
F]?-jiL  
　　sin3a=3sina-4sin³a V"4B+"8tZ  
a !jXj  
　　=4sina(3/4-sin²a) ODD<ngwEX  
TrsHrkN  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `JV.Paqx  
}1Z1L6S  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |zeX'  
gLWT--C  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) IZ5R })Z~  
.ATO\Oo  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l183%a9  
{=\C#^}  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) t<2kA,Wp  
n^0ef @#  
　　cos3a=4cos³a-3cosa $'h%TQFzk.  
WhB+z:7h?W  
　　=4cosa(cos²a-3/4) #&h]%=L_9  
U!o%FM  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] qO. .&1  
r%GtQYSvR  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) J[ s)w23  
.4k"QJma?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 8+}i}rO4  
V:!)Ce=@F  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} kGvU F3&@  
X#jR'Uu2Qv  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) I {|#m-Cf  
Cz(sO|%@r&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <iV7$?b(  
KVXarL~t  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9KAuiQMu}  
La?Y6O+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) (,Xge  
t;vFUYH  
　　上述两式相比可得 x7xY4w&t  
EG(o2SIg%  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )I`rH7m  
(|AA~Q8V  
半角公式 :96z2,\4  
sB&'Zz}-  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 0Q]K!nb  
. Pkda<e'-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. RV{\,"|Y  
o9 |KXZx  
和差化积 ]n&sD9K|R  
!oAwf^ bh  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] H O@'  
OFE@)&8n  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] L8`=pd[h  
hx#`'0HYn  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \xA:$%91  
u9;wgS wu}  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] If[_] ,Z^E  
nyY'[hB  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ew_v+<~4l  
Y_G'mepJZ+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) pWI{m8e  
0"/|<?p*K  
积化和差 U kGsaX\{  
_*g'yO*  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] F- =cw(E5  
TU@|!0Hq  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] S}~iEf[b6I  
8+$ A-n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] T']JNf@zq  
Oue6||2l[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 7B3L 3  
%A<@ ,  
诱导公式 7f8: [  
.-ko\#>a  
　　sin(-α) = -sinα 8U1gL;d  
P}j~fA  
　　cos(-α) = cosα <.MG: J\  
.]]wa;dY  
　　sin(π/2-α) = cosα eBKdeb  
EbaQF  
　　cos(π/2-α) = sinα #_VdK_CY  
{9v*CP{T  
　　sin(π/2+α) = cosα FFV\C^}  
AwQ{;s  
　　cos(π/2+α) = -sinα A,ZUQ67  
1cr ow4 h  
　　sin(π-α) = sinα ZSA^//`q  
=*K1-%8c  
　　cos(π-α) = -cosα d9Hp^iZa  
0^,Ub(O  
　　sin(π+α) = -sinα x_AKl!bv5  
<NO+4CVob  
　　cos(π+α) = -cosα pt$ YOc[QS  
W[y"9XAIB  
　　tanA= sinA/cosA z `0<sd;  
L^1Y $)}7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα YnY }  
K4(~bsT  
　　tan（π/2－α）＝cotα <Z  s>  
QBi^(   
　　tan（π－α）＝－tanα zNi/ 7,Z  
Gv3.v3  
　　tan（π＋α）＝tanα D%SU #\?UP  
N/XZ-(,Q  
万能公式 #/SB%bZfIz  
QE; e81M  
　　 CmoBQ  
D- i\'n  
其它公式 ;o&)%j!2  
eRZ}G  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $PK\Rvc/s  
k tD aPF  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 KV3S&'~  
 rX*"SC  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 6/ik9Hn  
mv,65 B  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 R^~aMI<k  
ak:j=00  
　　对于任意非直角三角形,总有 iy3("LSo  
W,Y ;+0FJ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC mCetN4*w@  
H{UML(#9-  
　　证: &k =aC  
'N0-n!C^p  
　　A+B=π-C ,v~ du  
e#*x>\i+  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ?sz3}+r5_  
-qGHc{GeN  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ?"R ohMW'  
=l)J_6'  
　　整理可得 b3Na"f  
{8_$KXQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L<!V@-M  
[ksirhfl-  
　　得证 7en\*tz  
f7~Y&eg  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 T8y4jhG  
^A[$qAK cr  
其他非重点三角函数 90;L*(:  
H3 *yoR|D2  
　　csc(a) = 1/sin(a) !nlY1p!  
^XMSDu`  
　　sec(a) = 1/cos(a) 'eEK};fC  
UNHo88  
　　 Xnn^ 1eQ  
=Q:dGd<  
双曲函数 I ^V  
7[~~2+ f  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 3f(S-3 30  
of <vd+v  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Qp^ {3@eSy  
hW{ 79h1  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) L5^ux%=2  
: sOtqh.x`  
　　公式一： Q(VxJ/q  
ODj_TlZ?)  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $+Fluvw  
8A4*Ui?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα l'=z-U%9  
q,5lYB  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0''a8j>#\  
#fNT 4xs  
　　tan（kπ＋α）= tanα {X V" #3w  
14nkB4  
　　cot（kπ＋α）= cotα |O@cF[0%  
!o2Ld=T  
　　公式二： ^c*SrE  
S -9vVu   
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： p]*&{8\A,  
i*A W$v ;  
　　sin（π＋α）= -sinα :t]p])EjJ  
%?a2r${/.f  
　　cos（π＋α）= -cosα | A$Z0Y(  
s5Uew#cQ  
　　tan（π＋α）= tanα U|[jt,3  
8=rAr   
　　cot（π＋α）= cotα cEUf;sC6  
$I+" <T  
　　公式三： .dV1[xj  
7d*<{J<R  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： L6N 9']**  
g Ao 8  
　　sin（-α）= -sinα jc7uu"|h\  
XM1J(mh  
　　cos（-α）= cosα H7ZX5C5  
BOt.v0A^g  
　　tan（-α）= -tanα pxBQ`Ub3b  
_XQvy$@fp  
　　cot（-α）= -cotα 'gW] p\h  
_mQC$p  
　　公式四： > dwDbGqf  
^= H[=;9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $`Z}F!J  
lnKPu`  
　　sin（π-α）= sinα R8 sFP~`  
ElG$Pyr  
　　cos（π-α）= -cosα {_w-P>rz  
H0J! OK  
　　tan（π-α）= -tanα nKl-xD'lM(  
Y RkUZ{j  
　　cot（π-α）= -cotα O6bMRvO  
F qy"Q+o~  
　　公式五： CzWzW:c9.  
Ybc{{(  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： z_9  v  
};?QEUPb  
　　sin（2π-α）= -sinα 1k"O7-.  
bq$^ ztV.  
　　cos（2π-α）= cosα 3%[vN  
1$Trsx ~  
　　tan（2π-α）= -tanα %xi0#_T#L  
@:>Oo^*H  
　　cot（2π-α）= -cotα z?D BPB  
:)SM6/R/  
　　公式六： 0/T/= T<~  
O@-oMI,  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Q7eg*+(  
V~0 \Sq  
　　sin（π/2+α）= cosα on4/0D|B  
:V7kudRUa  
　　cos（π/2+α）= -sinα oC60&4z  
46[&iZv|j.  
　　tan（π/2+α）= -cotα Vu`a'%GU  
$U~wN"r  
　　cot（π/2+α）= -tanα rG?l'5 _I  
W?,6X2&  
　　sin（π/2-α）= cosα &W7@ |;,  
L+^Nboi/ 7  
　　cos（π/2-α）= sinα POP*lY@|  
RSK3/J]f  
　　tan（π/2-α）= cotα bW|XS}JZ  
sT|Kc_J)  
　　cot（π/2-α）= tanα 1>NXB IEg  
i&+: NZ|(y  
　　sin（3π/2+α）= -cosα qfi(y190  
Ioa$IgA#uI  
　　cos（3π/2+α）= sinα QP}A<N$  
=/'CRh'pO+  
　　tan（3π/2+α）= -cotα PujvJ  
"qy~No   
　　cot（3π/2+α）= -tanα SO0 ]!  
YW>v8H!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα jG=Y-p  
}YJm7x53#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $S)1*8q  
gM y,K F_  
　　tan（3π/2-α）= cotα z9LpMb'T  
G_65nw3  
　　cot（3π/2-α）= tanα er0zpil  
Xla&7$TiI^  
　　(以上k∈Z) 29@3kg{  
n;'t< oR  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7FKRpP  
|Z)S|dRa  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Ij?&@boe  
4NRw,q  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } EAi gi=lQ  
r,9)[ 38  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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